数学文化：武侠和数学

陆志勤 罗茱莉

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作者 | 陆志勤，罗茱莉

来源 | 《数学文化》， 2019年第十卷第二期, pp. 104-107. 感谢作者和《数学文化》授权转载。

武侠小说里有 “听风辩器” 一说， 讲的武林高手在战斗中， 闭上眼睛，气沉丹田，就可以听出对手的武器的种类，来袭的方向等等。比如天龙八部里漂亮的王语嫣，不仅能听出对手使用的暗器的形状，还可以听出他的门派， 练武的层次，有没有走火入魔等等细节。当然这只是小说，现实生活中不可能有这样的人。但是另一方面， 一个普通人可以毫不费力地听出不同乐器发出的声音， 比如大提琴和小提琴发出的声音就是不一样的。大提琴声音低沉，小提琴声音比较清亮。一个受过训练的音乐工作者肯定可以分辨出更多的细节。这里就产生一个数学问题：如果有一双完美的耳朵，并且受过足够的训练，那么一个人通过听觉最多能够听出一种乐器的多少细节？

1966 年，马克 · 卡兹（Mark Kac, 1914 – 1984）在美国数学月刊上发表了一篇文章，阐述了这个数学问题。其实对于管弦乐器来说, “听音辨器” 这个问题比较简单，甚至不需要用到多少数学。我们知道，一种管弦乐器，比如提琴，它的每一根弦发出的声音的主要部分被称为基音，而基音的频率被称为基础频率。除了基音以外， 琴声中还包含泛音。泛音的频率是基音的整数倍，它能够和基音一起组成和谐的共振之音。对于一双灵敏的耳朵，听出基音的频率是不成问题的。如果基音低沉，那说明提琴的弦比较长，那就是大提琴，如果基音比较高亢，那就是小提琴。

小提琴的弦本质上是一维的。一维的问题容易解决，对于两维的物体，同样的问题就困难得多。在卡兹的文章中，他用鼓来作为两维乐器的代表。真实的鼓当然大多数都是圆形的。不过为了能够讨论这里的数学问题，我们做一些假设：首先我们假定鼓发出的声音只和鼓面的形状有关， 而与整个（三维的）鼓，以及生产鼓的材料无关；其次我们假定鼓面的形状不仅可以是圆形的，也可以是椭圆形的，三角形的，甚至可以是多边形的。也就是说，我们假定鼓面是平面上的一个有界区域。和小提琴的情况相同的是，擂鼓发出声音的主要部分被称为基音，而基音的频率被称为基础频率；除了基音以外， 鼓声中也包含泛音。和小提琴的情形不同的是， 在两维的情形下，泛音一般不是基音的整数倍了， 它们之间也没有明显的联系。根据数学上的傅立叶级数理论，鼓声其实是许多不同频率的声音（基音和泛音）组合而成的。我们假定一双完美的耳朵可以从鼓声中分离出所有的不同频率的声音，而每一种频率可以用一个正实数来表示， 在这种假设下，我们可以问这样的一个数学问题：是否所有的这些实数的集合能完全决定那一面被听的鼓的形状呢？这个就是 1966 年卡兹提出的著名的问题。

奇妙的是，研究鼓声， 或者鼓的振动，和我们日常生活中的另一个常见的现象：热传导，有着相同的数学基础。在数学上，这些现象都能够被归结为下列特征值方程（和一些边界条件，这里我们不详细论述了）

在上面的方程中， Δ 被称为拉普拉斯算子， 这个称号被用来纪念法国数学家皮埃尔 · 西蒙 · 拉普拉斯 （Pierre-Simon Marquis de Laplace, 1749 – 1827），它是微分方程里最重要的算子之一。希腊字母 λ 是一个正实数， 用来表示鼓能发出的某一种频率的平方，也即基音或某一种泛音的平方。在数学上，我们称 λ 为“特征值”。f 被称为“特征函数”， 它也有一定的物理意义，不过这里我们就不详细解释了。

在一维情形（弦振动），上面的方程可以被简化为

其中 表示  的两阶导数。这个方程在工程上被称为简谐振动方程， 它的解是正弦和余弦函数的组合。通过研究这个方程，我们可以从数学上严格证明音乐家们早就知道的事实：所有的特征值都是最小的那个特征值的整数平方倍。

两维的（鼓振动）问题就困难的多， 首先特征值方程会变得看上去有点吓人

这是一个两阶偏微分方程。和一维情形不一样的是，对于一般的平面区域，上述方程的精确解是找不到的。所以卡兹问题变成：如果有两面鼓， 它们发出的所有的基音和泛音都一样，也就是说这两面鼓有着相同的特征值， 那么它们的形状是不是完全一样呢？

对于这个问题，数学家们努力了几十年，直到 1992 年才有了突破。三位数学家 Carolyn Gordon, David L. Webb 和 Scott Wolpert 在美国数学会公报上发表了一篇文章，解决了这个问题。

我们知道，在数学上，如果要证明某个论断成立，那就要证明该论断下包含的所有情形都成立。比如说勾股定理，我们不但要证明勾三股四弦五，还要证明对于所有的直角三角形，其斜边的平方等于两直角边的平方和。但是反过来，如果要说明一个论断不成立，只要找出一个例子就行了。这样的例子被称为反例。虽然只是一个例子，有时它的难度不见得比证明一个论断更容易。

卡兹的问题在 1992 年被Carolyn Gordon, David L. Webb 和 Scott Wolpert以一种令人惊奇的方式给出了否定的解答。他们的工作被许多数学家简化以后，我们才知道，下列两面稀奇古怪的鼓面（相信这种形状的鼓不会出现在任何现实生活中）

它们发出的声音的频率是一样的。也就是说， 如果光听声音， 那么就算是一双完美的耳朵， 也不能区分这两面鼓。用数学的语言来讲，这两个平面区域有着相同的特征值（集合）。

虽然卡兹问题的答案是否定的，但是这不代表我们不能得到一些信息。比如上面的两个平面区域尽管是不一样的，但是很容易验证， 它们有着相同的面积和周长。除此之外， 它们还有其他的一些相同的量。对于许多实际问题来说， 这些量可能更重要。比如在石油勘探中，我们可以用人造地震来测量出地下油田发出的频率，虽然一般我们无法知道地下油田的形状，但是我们可以用特征值的信息来估算出地下油田的体积， 也就是石油的储量，这才是更重要的。相同的数学原理现在也被广泛地使用在医疗，天文，模式识别，人工智能等等许多领域。

卡兹问题的研究也催生出纯数学上一个叫做谱几何的分支。它使用到数学中最前沿的微分几何与微分方程的结果，是一个正在蓬勃发展的领域。

那么在天龙八部里， 如果王语嫣姑娘足够聪明， 理论上她能不能仅仅通过听风辩器来说出暗器的形状？如果用上图的形状作出两种暗器， 并且仅仅提供给王姑娘这两种暗器本身振动所发出的声音，那么她就不可能区分它们。当然， 这两种暗器破空来袭的时候和空气摩擦发出的声音可能是不一样的，聪明的王姑娘还是有可能辨别其中的不同， 不过这是另一个（很大的）数学问题了。武侠世界里像王语嫣这样冰雪聪明的美女到处都是， 这有点令人郁闷。

2019 年 2 月 3 日 定稿

本文是发表在牛津大学出版社部落格文章的改写版，原文网址在

https://blog.oup.com/2015/12/drum-shape-mathematics/

感谢王作勤，雷洁的指正，更近一步的介绍可以看陈化的文章：“你能听出一面鼓的几何形状吗——谈谈等谱问题”，数学通报， 2014 年， 第 53 卷，第 5期。

选自：好玩的数学

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